Le hasard en mathématiques : de Pascal à Kolmogorov

Benoit Rittaud, maître de conférences de l’université Paris XIII, a retracé quelques grands moments de l’histoire du hasard en mathématiques. C’était à Livry-Gargan et nous avons noté pour vous :

 Dès l’antiquité, dès l’époque Babylonienne,  la notion de hasard était

présente, puis en Grèce où on trouve les premiers vrais mathématiciens. 

 A l’époque grecque et romaine, le hasard imprégnait le quotidien. Dans la mythologie, les divinités jetaient des sorts, en politique on tirait au sort ceux qui à qui incomberaient les charges électives (sénateurs, etc…), dans l’économie, existaient les assurances liées aux risques …

Néanmoins, dans la culture antique, le hasard était surtout associé au jeu et donc mal considéré, « rien n’arrive par hasard, tout arrive par nécessité » affirmaient les savants de l’époque. Le premier jeu de hasard, le jeu de dés, traversa les siècles.

  •  Au 17ème siècle Pascal posa son célèbre pari selon un calcul de probabilités qui ne fut réfuté que 4 siècles après lui. II met calcule le gain que l'on peut avoir en croyant en Dieu, probablement pour convaincre ceux de ses contemporains qui prisent le jeu, plus que les arguments théologiques. Considérant qu’il y a une chance sur deux pour que Dieu existe Blaise Pascal démontre qu’il valait mieux croire en Dieu. "Examinons donc ce point, et disons Dieu est, ou il n’est pas... Que gagerez-vous?... Il faut parier cela n'est pas volontaire, vous êtes embarqué... Pesons le gain et la perte en prenant croix, que Dieu est. […]
    Vous avez deux choses à perdre : le vrai et le bien, et deux choses à engager : votre raison et votre volonté, votre connaissance et votre béatitude; et votre nature a deux choses à fuir : l'erreur et la misère. Votre raison n'est pas plus blessée, en choisissant l'un que l'autre, puisqu'il faut nécessairement choisir. Voilà un point vidé. Mais votre béatitude ? Pesons le gain et la perte, en prenant croix que Dieu est. Estimons ces deux cas : si vous gagnez, vous gagnez tout; si vous perdez, vous ne perdez rien. Gagez donc qu'il est, sans hésiter."
    (Blaise Pascal / 1623-1662 / Pensées / 1670)
    Dans ce passage, Pascal sous-entend que si Dieu existe, nous aurons droit, à un bonheur infini si l’on croit en lui et si l’on renonce dans notre vie terrestre aux plaisirs et aux satisfactions qui nous attendent au paradis.  Si Dieu n’existe pas, le croyant et le non croyant ne perdent rien. Si Dieu existe, le croyant gagne tout, c'est-à-dire le paradis, la béatitude, le non croyant va en enfer, donc perd tout. Il est donc, selon ses calculs,  plus avantageux de croire en Dieu. Bien que la démonstration de Pascal paraisse douteuse, elle n’en reste pas moins étonnante. Il écrira vers la fin de sa vie un chef d'œuvre de la littérature, "Les Pensées", apologie de la religion chrétienne
    Diverses critiques furent formulées sur ce pari, notamment :

    Pascal ne prend en compte que la religion chrétienne. D’autres religions, comme le bouddhisme promettent la béatitude sans qu’il soit nécessaire de croire en un dieu. D’autres formes de croyance existent, comme le déisme, où Dieu n’intervient pas dans les affaires humaines. 
  • Plus que les athées, ce sont les croyants qui devraient être troublés par un tel argument qui ramène la foi à un choix de joueur, à une simple question de probabilité.
  • Le croyant, pour gagner la vie éternelle doit renoncer à la vie terrestre. Si Dieu existe, il gagne tout, mais si Dieu n'existe pas, on doit faire la différence entre la vie vécue et le néant de la mort. Or, entre la vie et le néant la différence est incommensurable, donc en pariant sur l'existence de Dieu, il a perdu quelque chose d'inestimable. Quant à l’incroyant, si Dieu existe, il perd aussi quelque chose d'inestimable, la béatitude éternelle. Dans les deux cas la perte est infinie.
  • Ce pari laisse entendre qu’il vaut mieux croire "au cas où" plutôt que de vivre en cohérence avec ses idées. Si Dieu existe, pourquoi ne préférerait-il pas une foi sincère et désintéressée, voire pas de foi du tout, plutôt qu’une foi intéressée. Dans ce cas, celui qui suit le pari de Pascal pourrait tout perdre, la vie terrestre et la béatitude.

Au 20ème siècle,  Andrei Kolmogorov, mathématicien soviétique dont les apports sont considérables, fit un travail de formalisation des probabilités, comparable à celui qu'avait réalisé Euclide à propos de la géométrie. Elles deviennent alors des mathématiques à part entière.  C'est aussi un mathématicien "au pays des Soviets", dont la production scientifique commence avec la Révolution d'Octobre 1917, et dont la vie se termine au début de la Perestroïka.

 Dans les années trente en URSS, deux écoles rivalisent. Celle de Saint-Pétersbourg, dans la ligne de Chebyshev et de son élève Markov, travaille à l'application des probabilités à la mécanique. Celle de Moscou, rassemblée autour de Lusin, se caractérise par une orientation intellectuelle formaliste, dans la lignée de l'école française d'Émile Borel et d’Henri Lebesgue, créateur de la théorie de la mesure. Kolmogorov montrera que les deux courants sont complémentaires. Il est le premier en effet à établir le lien entre la notion de mesure ­ qui associe une importance relative à chacune des parties d'un ensemble ­ et celle de probabilité ­ qui évalue la proportion de chances qu'un point appartienne à l'une des parties d'un ensemble.  En 1930, Il se rend à Göttingen, où le grand mathématicien allemand David Hilbert a fondé une école mathématique formaliste florissante. En 1900, Hilbert avait écrit les Grundlagen der Geometrie « Fondements de la géométrie », qui proposent une axiomatisation de la géométrie. De retour en URSS, Kolmogorov publie en 1933, en allemand, les Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung « Fondements du calcul des probabilités », où il présente une axiomatisation des probabilités. De 1930 à 1950, elles connaissent un âge d'or en URSS, alors qu'elles sont considérées comme des sous-mathématiques en France une tendance qui sera renforcée plus tard par le groupe de mathématiciens Bourbaki.

 Aujourd’hui les probabilités servent au quotidien dans de multiples domaines, comme l’évaluation des risques ou encore les sondages. Celui de l’élection présidentielle de 1931 aux USA montra l’importance de la représentativité de l’échantillon : 1000 personnes bien échantillonnées par donnèrent le bon résultat (Roosevelt) alors qu’un autre sondage de Newsweek sur  2 millions de personnes  mal échantillonnées donna son rival gagnant.

 En physique quantique, le hasard absolu est la règle lors de l’observation des particules. L’observation elle-même agissant sur la particule au moment de la projection de lumière qui permet de la voir, l’électron ne peut être localisé. Il est observé… par hasard.

Sans oublier les traders qui usent pour leurs transactions d'un haut niveau de connaissance en mathématiques notamment pour les calculs de probabilités…

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